Waveguide-Simulation für Arme

Moin,

Waveguides sind in aller Munde und wie es scheint die Lösung kompliziertester Abstrahlungsprobleme. Die Fieberkurve des Trends ist noch nicht besonders fortgeschritten, da es den meisten Selbstbauern auch an den technischen Fähigkeiten zum Basteln eines schick aussehenden WGs fehlt. Es gibt nicht viele Waveguider, und diejenigen die ich kenne arbeiten auch mehr nach dem Trial&Error-Prinzip bzw. setzen auf Erfahrung. Der @Farad z. B. schrieb irgendwann mal (im Visaton-Forum) das die Form des WGs (seiner Nigri?) nicht berechnet sondern aus eben solcher Erfahrung zustande gekommen ist.

"Erfahrung" in diesem Sinne ist dem Ingenieur zuwider, er verlangt handfeste Näherungsformeln. Da gibt es auch was vom Kollegen Geddes, der für seinen oblate spherical waveguide (oblate: abgeflacht) Anleitungen für die Kontur mit verschiedenen Randbedingungen (Hals-/Mundradius, Directivity) ermittelt hat. Soweit ich das verstanden habe ist das aber auch in (sehr komplexe) Mathematik gegossene Erfahrung. Dann gibt es noch den Makarski, der mit BEM hantiert. Sicherlich sehr nett, weil sich damit unterschiedlichste Konturen ziemlich exakt simulieren lassen - aber wenn ich von Simulationszeiten >24h auf einem P4 lese dann glaube ich nicht, dass sich das in naher Zukunft im Selbstbau durchsetzen wird. Ganz nebenbei braucht man dazu noch eine BEM-Software, und die ist entweder nicht billig oder von Mathematikern für Mathematiker geschrieben - also unbedienbar .

Weil ich kein Doktor der höheren Mathematik oder Quantenphysik bin habe ich mir einen Ansatz überlegt, der die Simulation des Abstrahlverhaltens eines Waveguides ziemlich schnell erledigen dürfte. Vorrausgesetzt, er ist richtig. Deswegen mache ich die Weiterentwicklung öffentlich, vielleicht findet sich ja jemand mit Interesse und hinreichendem physikalischen und mathematischen Sachverstand, der mir dabei eventuell unter die Arme greift oder Stein in den Weg wirft. Ansonsten könnte ich mich auch einfach hinsetzen und das alleine fertigbasteln, aber da hat niemand etwas davon - weder ich, wenn ich dabei Fehler mache, noch andere, weil die nichts dabei lernen.

So, Vorwort fertig, gehen wir ans Eingemachte.

Der Ansatz

Neulich war @Murray im Forum verzweifelt, weil er mit Boxsim das Verhalten seines Waveguides nicht simulieren konnte. Ich gab ihm den Tipp, für den Radius seiner den WG antreibenden Kalotte den des WG-Mundes anzugeben. Das Resultat war aber eine zu starke Bündelung, das konnte es also nicht sein. Daraufhin und weil ich selber mit dem Gedanken spiele, in mein aktuelles Projekt auch einen WG einzubauen (natürlich auch nur für Arme) habe ich mir überlegt, was in so einem Wellenführer eigentlich passiert.

Mir war bekannt, dass man dort nicht mit ebenen Wellen rechnen darf, sondern die Front sich verbiegt. Stellt sich nur die Frage: wie? Und ist das von der Form abhängig?

Also habe ich mir mal auf einem Blatt Papier einen konischen Waveguide gezeichnet, bzw. weil ich den als rotationssymmetrisch angesehen habe eine zweidimensionale Projektion. Eigentlich ist das nur eine Gerade durch den Nullpunkt. Weil ein WG am Hals aber nicht den Radius 0 hat habe ich den an die Stelle x_H und den Mund an die Stelle x_M gesetzt. Dann bin ich davon ausgegangen, dass am Hals eine ebene Welle die Quelle ist und mir angeschaut, was daraus am Ende des Waveguides wird. Die ebene Welle ist aber nicht zwingend.

Der Ansatz wird hier schon deutlich: die Welle muss am Rand des WGs einen weiteren Weg bis zum Mund zurücklegen als im Zentrum. Dadurch wird die ebene Welle verformt, es entsteht etwas gekrümmtes, aber keine Kugelwelle (bzw. eine Kugelsegment). Das nächste Bild zeigt den Effekt, T ist die Tiefe des Konus (Kegelstumpf), L die Länge der Außenseite. Zur besseren Unterscheidung zu einer Kugelwelle habe ich mit einem Zirkel einen Radius gezogen.



Es sollte klar sein, dass die Wegdifferenz zwischen "Zentrum" und "Außenwand" vom Öffnungswinkel des Konus abhängt. Meine Idee ist nun, den Hornmund durch Punktschallquellen anzunähern (ähnlich wie in Edge oder Boxsim) und für jede dieser Punktschallquellen die Phasenlage zu berechnen. Dann brauche ich nur noch von einem Raumpunkt aus über sämtliche Quellen integrieren und erhalte dann hoffentlich den Frequenzgang des Waveguides an genau diesem Ort.

Wie berechnet man denn die Phasenlage der Schallquellen? Dazu zieht man eine Gerade von der zu berechnenden Quelle durch den Nullpunkt, ermittelt ihre Steigung und kalkuliert dann mit Hilfe der Länge L (Formel ist angegeben) die Phasenlage nach


   __
 2 ||
------ L
  \
  /\


Würde man alle diese Geraden einzeichnen erhielte man eine Kurvenschar mit dem Parameter m.

Die wenigsten Waveguides sind jedoch konisch, sondern irgendwie krumm. Einer der wichtigsten Gründe ist der Übergang zur Schallwand, der bei einem Konus denkbar ungünstig verläuft und zu internen Resonanzen (wie bei einer TML) führt. Gut geeignete Funktionen sind also solche, die möglichst ohne Sprungstelle in die (meist) ebene Schallwand übergehen, also entweder selber irgendwo senkrecht zur x-Achse werden (z. B. Arkussinus) oder dagegen konvergieren (Tangens, Tractrix). Das Problem ist also, die Berechnung für den Konus auf andere Öffnungsfunktionen anzuwenden.

Dazu bediene ich mich eines Vorgehens, was in der Mathematik eigentlich ganz gerne verwendet wird. Ich erkläre das mal an der Berechnung der Länge einer Funktion, auch weil wir das Ergebnis dieser Betrachtung später noch brauchen.

Zuallererst wird die (stetig differenzierbare) Funktion durch Geradenstücke angenähert. Die Länge jedes dieser Geradenstücke kann man nach der im Bild oben angegeben Formel berechnen. Das Ergebnis ist dann natürlich fehlerbehaftet, weil man der Funktion eben nicht exakt folgt. Man kann die Genauigkeit erhöhen indem man die Anzahl der Geradenstücke erhöht und damit den Abstand der Stützstellen immer weiter verringert. Das kann man beliebig weit fortführen, und gewiefte Oberstufenmathematiker haben den Kniff schon durchschaut, es handelt sich hier um die Ableitung einer Funktion. Die Länge der Funktion erhält man dann durch das Integral über die Länge der differentiell kurzen Geradenstücke, im Ergebnis sieht das so aus:



       x
        M
      /
     |    __________
     |   /         2
L =  | \/ 1 + f'(x)  dx
     |
     |
    /
     x
      H


Und genau die gleiche Vorgehensweise kann man auch bei "krummen" Öffnungsfunktionen anwenden: der Trichter wird durch differentiell kurze Kegelstümpfe angenähert.

Die Parametrisierung durch - wie oben - "m" ist dann lediglich eine Streckung entlang der x-Achse, ich demonstriere das mal für den Tangens:



Stauchung oder Streckung der y-Achse funktioniert nicht, wie Ihr Euch mit jedwedem Funktionsplotter und Vergleich zwischen tan(x) und z. B. 0.5*tan(x) anschauen könnt.

---

Soweit der Ansatz, fehlt noch die Implementierung und der Vergleich zu real existierenden Waveguides. Außerdem wäre noch eine Erweiterung auf nicht-rotationssymmetrische Konturen wünschenswert.

Die Diskussion ist hiermit eröffnet. Anregungen, Fragen, vernichtende Gegenargumente?

Gruß
Cpt.

Hallo SRAM

ich suche nach Messdaten zum 18Sound Horn XT1086, grade gestern habe ich einen alten post von Dir im PA-Forum gefunden, offensichtlich hattes du das Horn/WG mal durchgemessen die Kurven werde im PA-Forum aber nichtmehr angezeigt. Hast du die noch, könntest du die posten oder mir zumailen?
an: mdh ÄT snafu DOT de

danke,
martin