Ein Hornexperiment und mehr

Hallo
Ich möchte mich mit diesem Artikel hier erstmals zu Wort melden. Bin mir nicht ganz sicher, ob dies der richtige Platz ist, im Zweifelsfall also einfach verschieben.
Des weiteren gab es Probleme mit dem Kopieren des fertigen Artikels in das Fenster hier und dem darauf folgenden manuellen Umbruch. Es
ist schwierig, den im Open Office gespeicherten Text so hierher zu kopieren, dass jeder Buchstabe, und vor allem jede Zahl in den einzelnen Formeln, perfekt am richtigen Platz sitzen. Weiß jemand, wie man 10 hoch minus 12 im Text schreibt? Und wie man den oberen Strich einer Wurzel schreibt. Manches ist also nicht so, wie ich es schrieb.

Ein Hornexperiment und etwas Theorie
Im Keller meines Hauses befindet sich ein Raum, dessen Nebenraum sich wegen seiner konischen Form gut für ein Tieftonhorn eignet, siehe Bild 1.



Kurzdaten: Gesamte Schallweglänge 5 m, davon 3 im Holzhorn und 2 m "Rückweg" in dem konischen Raum. Die Mundöffnung beträgt 1,3 Quadratmeter. Der Tieftöner mit der Rückkammer sitzt im unteren Teil. Die theoretische Cutoff-Frequenz liegt bei 30 Hz.
Bild 2 zeigt den Impedanzverlauf des Tieftonhorns mit vielen Resonanzstellen im Bereich von 25 bis 100 Hz, aufgenommen mit sehr langsamer Wobbelung und einem Speicheroszilloskop. Ursachen und Auswirkungen dieser Resonanzen sind in folgenden Literaturstellen zu lesen (1).
http://i13.photobuck.../2Oszillogramm-1.jpg

1. Reflexionen und Resonanzen
"Bei der bisherigen Betrachtung wurde vereinfachend angenommen, dass die Strahlungsimpedanz an der Trichtermündung nahezu reell ist............" Ist das nicht der Fall, so "kommt es an der Trichtermündung bei tiefen Frequenzen zur teilweisen Reflexion von Schallenergie. Die Folge davon sind stehende Wellen im Trichter sowie resonanzartige Einbrüche und Überhöhungen in den Frequenzgängen des Realteils von Zm und der abgestrahlten Schallleistung".
Weiter ist zu lesen:
"Die Genauigkeit von Trichterberechnungen ist begrenzt, weil eine Reihe weiterer Effekte vernachlässigt wurden. Hierzu gehören z.B.
a) Die Wellenform im Trichter. Die Flächen gleichen Schalldrucks sind nicht - wie angenommen - eben, sondern gekrümmt.
b) Mitschwingende Trichterwände ergeben Resonanzen.
c) Interaktionen zwischen Membranresonanzen und Trichterresonanzen.
d)Wird der Trichter im abgeschlossenen Raum (Zimmer) betrieben, so unterscheidet sich insbesondere bei tiefen Frequenzen die Mündungsimpedanz von der Impedanz einer ins Freie strahlenden Kolbenmembran. Die Ursache hierfür sind Raumresonanz. Befindet sich am Ort der Trichtermündung gerade ein Schallendruckknoten, so ist die Mündungsimpedanz klein; umgekehrt ergibt ein Schalldruckbauch eine hohe Mündungsimpedanz. Für Basshörner, die z.B. in eine Zimmerecke gestellt werden, können somit kaum vorhersehbare Kopplungen zwischen Membranresonanzen, Trichterresonanzen und Raumresonanzen entstehen."


Auf der Internetseite
http://de.wikipedia.org/wiki/Hornlautsprecher
wird ein Vergleich zwischen Hörnern und Direktstrahlern angestellt:

"Die durch den verbesserten Strahlungswiderstand vermehrte akustische Kopplung und vermehrte Abstrahlung akustischer Wirkleistung funktioniert auch umgekehrt (reziprok): Raumresonanzen beeinflussen den Horntreiber stark, während direkt strahlende Chassis vom Raum praktisch nicht beeinflusst werden, so dass man Messungen an diesen in der Regel sogar ohne Absorberkammer (reflexionsfreier Raum) und ohne Ausweichen ins Freifeld unternehmen kann."

Bild 3 zeigt den Impedanzverlauf (25 bis 100 Hz) eines 30cm Tieftöners in einer geschlossenen Box von 60 Litern. Hier gibt es nur die Resonanz zwischen Lautsprecher und Gehäuse. Damit ist die obige Aussage bestätigt.

http://i13.photobuck.../3Oszillogramm-1.jpg

Jetzt folgt etwas theoretische Akustik.

2. Direktstrahler kontra Hornstrahler
Für den Vergleich der Wiedergabe tiefer Frequenzen einer Box (Direktstrahler) mit der eines Horns, genügt es, die Abstrahlfähigkeit der Membranen zu betrachten, also ohne Berücksichtigung der Lautsprecherchassis. Dann sind die Berechnungen relativ einfach. Die Abstrahlung der Membran einer an einer ausgedehnten Wand stehenden geschlossenen Box wird üblicherweise wie eine Membran in der unendlichen Schallwand betrachtet und entsprechend berechnet. Bei der Berechnung der Strahlungsimpedanz eines Hornhalses wird die Hornmündung wie eine in der unendlichen Schallwand befindliche Membran behandelt. Die unendliche Schallwand ist zwar ein theoretisches Gebilde, dient aber in akustischen Berechnungen als Bezug.

Beide Membranen sollen die Membrangrösse (830 qcm) eines 15 Zoll- Laut-sprechers haben, eine Amplitude von 3 mm bei 60 Hz machen und ins Freie strahlen, so dass Raumresonanzen nicht auftreten. Die folgenden theoretischen Berechnungen sind rein akustischer Art. Die elektromechanische Seite wird nicht behandelt. Daher kann nicht auf Simulationen zurückgegriffen werden, in die verschiedene Chassisdaten und anderes eingehen. Berechnet werden soll schlussendlich der Schalldruck in 3 m Hörabstand.

3. Direkt strahlende Membran in unendlicher Schallwand
Bild 4 (aus Olson, 2.) zeigt die Strahlungsimpedanz Zm (impedance) in Abhängigkeit vom Verhältnis Membranumfang zu Wellenlänge:
2π • R /λ = k • R.

Bei kR = 1 ist Zm praktisch gleich dem Wellenwiderstand Zo der Luft (Anpassung, keine Mündungsreflexionen). Dieser Fall tritt bei einem Direktstrahler erst bei höheren Frequenzen ein. Bei tiefen Frequenzen müsste die Membran eine nicht realisierbare Grösse besitzen. Beim Horn dagegen kann der Mündungsumfang viel grösser als der Membranumfang des Direktstrahlers dimensioniert werden.
Realteil und Imaginärteil von Zm sind bezogen auf Zo und die Membranfläche Sm = 0,083 qm mit R = 0,16 m. Der Frequenz 60 Hz entspricht eine Wellenlänge von 5,72 m (c = 343 m/s), folglich ist kR = 0,175. Anstatt den Realteil aus dem Diagramm zu entnehmen (ist schwierig), kann man das erste Glied der Reihenentwicklung der Besselfunktion, mit der das Diagramm berechnet wurde, benutzen: (kR) zum Quadrat geteilt durch 2. Das ergibt dann 0,015.

Pw = V² • Re (Zm) • Sm Akustische Wirkleistung
V = 2πf • A = 2π60 • 0,003 = 1,131 m / s
V= Membranschnelle
f = 60/s
A = Amplitude = 0,003 m

Da die Leistung ein Effektivwert ist, muss V durch Wurzel aus 2 dividiert werden.

V² = (1,131 / √ 2 )² = 0,6395 m² /s²
Re (Zm) = 0,015 • Zo = 0,015 • 414 kg/ m² • s = 6,21 kg/ • m² • s
Sm = 0,083 m²
Pw = 0,6395 m² / s² • 6,21 kg/ m² • s • 0,083 m² = 0,33 kg • m² / s³ = 0,33 Watt

Der Imaginärteil von Zm ist 8 • kR/3 • π = 0,148 (Näherung). Dieser Wert statt 0,015 in obige Gleichung eingesetzt, ergibt die Blindleistung Pb = 3,26 Watt. Die Scheinleistung (Gesamtleistung) beträgt

Ps = √ 0,33² + 3,26² = 3,28 Watt

Also wird nur 0,33/3,28 = 0,1 = 10% der durch die Membranamplitude erzeugten akustischen Leistung in Schall umgewandelt (bei 30 Hz 5%). 90% werden zum Hin-und Herpumpen von Luft verbraucht. Die akustische Leistung von 0,33 Watt darf nicht mit der elektrischen Leistung verwechselt werden, die der Lautsprecher aufnimmt und die wesentlich höher ist. Für einen anständigen Tiefbass braucht man bei normalen Boxen also hohe Verstärkerleistungen. Im Übrigen genügt es schon, die Oberwellen der tiefsten Frequenzen abzustrahlen, weil aus ihnen die Art des Instruments erkennbar ist. Den Grundton, also den Tiefbass
fühlt man eher als dass man ihn hört.

Der Schalldruckpegel in 3 Metern Hörabstand errechnet sich folgendermassen: Die Wirkleistung wird durch die Fläche einer Halbkugel mit dem Radius von 3 Metern geteilt und ergibt die Schallintensität I
I = 0,33/2π • 3² = 0,00583 Watt pro QuadratmeterI

I wird auf den Nullpegel (Hörschwelle) von Io = 10(hoch -12) W/m² bezogen und ergibt den Schalldruckpegel
L = 10 • log 0,00583/ 10(hoch -12) = 97,66 db


4. Das Vergleichshorn in unendlicher Schallwand
Wie bereits erwähnt, erzeugt die Membran eines Direktstrahlers eine
akustische Wirkleistung von

Pw = V² • (Realteil) Zm • Sm

Um die Leistung zu steigern, kann man V vergrössern. Bei gegebener Frequenz führt das zu einer Erhöhung der Membranamplitude, die sich stark auswirkt, weil V mit dem Quadrat wächst. Oder man vergrössert Sm, z.B. durch Einsatz mehrerer Tieftöner. Oder man erhöht Zm. Und genau das tut das Horn mit seiner grossen Mündungsfläche.

Zunächst muss ein Horn berechnet werden, wobei ich mich am Klipschorn orientiert habe. Den beiden Veröffentlichungen von Klipsch (4) kann man entnehmen:
Hornmündung 3676 qcm, fc = 50 Hz, Länge 101,6 cm. Im Internet stösst man auf folgende Angaben für die Mündung: 3716 qcm, 3870 qcm und 4354 qcm und Längen bis zu 162,5 und 180 cm(?).

Für das Vergleichshorn habe ich angesetzt:
Hornmündung 0,5qm, ein noch realisierbarer Wert, Radius 0,4 m
Halsöffnung 0,083 qm, gleich Membranfläche, Radius 0,16 m.
Cutoff-Frequenz fc = 50 Hz, λc = 6,86 m, Arbeitsfrequenz f = 60 Hz
Hornkonstante m = 4π • fc/f = 4π • 50/60 = 1,83 [1/m]
Länge l = 1/1,83 • ln 0,5/0,083 = 98 cm ≈ 1m

Bild 5 ist aus Beranek (3.) entnommen und zeigt die akustische Impedanz am Hals von Hörnern in Abhängigkeit von f/fc, wobei die Abmessungen auf λc bezogen sind.

Der Vergleich der Fälle (a) bis (d) zeigt, dass schon eine geringe Verlängerung des Horns zu einer beträchlichen Erhöhung des Mündungsumfangs mit entsprechendem Rückgang der Welligkeit führt. Beim Vergleichshorn führt der Bezug auf λc zu folgenden Grössen:

Umfang C = 0,366 • λc
Durchmesser der Mündung D = 0,116 • λc
Länge l = 0,146 • λc

Demnach liegt das Horn zwischen den Fällen (a) und (b) und weist eine erhebliche Welligkeit auf. Bezüglich der Länge ist es noch schlechter als (a). Für die genaue Berechnung der Impedanz Zh am Hornhals bei 60 Hz kann man eine komplizierte Formel von Olson benutzen, bei der die Welligkeit berücksichtigt wird. Einfacher und völlig ausreichend ist es, den Fall (e) in Bild 5 für die Berechnung heranzuziehen. Er bezieht sich auf das unendliche Horn und zeigt die Kurven für Real- und Imaginärteil. Die recht einfachen Gleichungen für die beiden Kurven lauten:

Re (Zh/Zo) = √ 1 - (fc/f)² = √ 1 - (50/60)² = 0,55
Im (Zh/Zo) = fc/f = 50/60 = 0,833

Damit lassen sich Wirkleistung, Blindleistung, Scheinleistung und Schalldruck errechnen: Pw = 12,086 Watt, Pb = 18,3 Watt, Ps = 21,93 Watt, L = 113,3 db

Der Schalldruck ist gegenüber dem Direktstrahler um 15,64 db gestiegen und es werden jetzt 12,086/21,93 = 0,55 = 55% der Gesamtleistung in Schall umgesetzt.

5. Druckkammer
Wie aus 4.) hervorgeht, erhöht das Horn die Membranbelastung und führt zu einem höheren Wirkungsgrad gegenüber dem Direktstrahler. Als Grenzwert ergibt sich Zo, der Wellenwiderstand der Luft, wenn man von dem uner-wünschten Anstieg über Zo bei hoher Welligkeit absieht. Eine Druckkammer zwischen Membran und Hornhals ermöglicht eine weitere Erhöhung der Membranbelastung. Ist die Halsfläche Sh kleiner als die Membranfläche Sm, so beträgt die Impedanz am Hals Zh = Sm/Sh • Sm • Zo gegenüber
Zh = Sm • Zo ohne Druckkammer. Real- und Imaginärteil von Zh werden mit dem Übersetzungsverhältnis Sm/Sh hochtransformiert.

Beispiel: Nimmt man Sm/Sh = 2 (Halsfläche gleich der Hälfte der Membranfläche), so ergibt sich Zh = 2 • Sm • Zo. Allerdings wird das Horn länger: l = 1/1,83 • ln 0,5/0,0415 = 1,36 m.

6. Einfluss des Raumwinkels
Es ist eine Erfahrungstatsache, dass bei der Aufstellung eines Lautsprechers in der Ecke die Basswiedergabe zunimmt, weil die abgestrahlte akustische Leistung sich auf eine kleinere Fläche verteilt. Dies führt zu der Empfehlung, dass die Mundfläche eines Horns bei Eckaufstellung nur 1/8 der Fläche gegenüber der 4π - Position (Kugeloberfläche 4π R, mit R zum Quadrat) zu betragen braucht. Diese Theorie wird im folgenden Beitrag angezweifelt:

" .............. Früher glaubte man durch ein falsch angewandtes Symmetriear-gument, man könne die Größe deutlich reduzieren, wenn man Hörner in Zimmerecken oder Zimmerkanten einlässt. Das ist laut modernen Simulations-verfahren nicht der Fall. Vielmehr beträgt das erforderliche Gehäusevolumen bei 40Hz Grenzfrequenz unabhängig von der Treibergröße um 1000 Liter, die Länge des Hornverlaufs sollte 3 bis 4 Meter, und die Mundfläche sollte einen halben Quadratmeter nicht unterschreiten. ..............."

Entnommen aus http://de.wikipedia.org/wiki/Lautsprechergeh%C3%A4use

Klipsch nimmt die Wandaufstellung mit 2π als Bezug und benötigt dann bei Eckaufstellung mit π/2 nur 1/4 der Mundfläche. Das Vergleichshorn würde unter Beibehaltung seiner Fläche auf den 4-fachen Schalldruck (+6 db) kommen (rein theoretisch).

7. Abstrahlung unterhalb der Grenzfrequenz
Die klassische Horntheorie geht davon aus, dass bei fc der Strahlungswiderstand Null ist, also keine Leistung abgestrahlt wird. Aus (1) ist zu entnehmen:

"..... Beim realen Exponentialtrichter ist auch im Bereich f kleiner fc eine Wellenausbreitung nachweisbar. Die zur Berechnung getroffene Näherung ebener Wellen erreicht hier ihre Gültigkeitsgrenze. Die genauere Berechnung über gekrümmte Wellenfronten führt auf komplizierte Differentialgleichungen".

Auch unterhalb von fc wird noch etwas Schall abgestrahlt. Da der Strahlungswiderstand aber nur noch sehr klein ist, wird die Membran akustisch kaum noch belastet und arbeitet wie ein Direktstrahler in einer zusammengeklappten Schallwand, die klein gegen die Wellenlänge ist. Bei Betrieb in diesem Frequenzgebiet kann die Membran daher unkontrollierte grosse Amplituden ausführen (z.B. Einschaltknack) und der Lautsprecher könnte zerstört werden.

Literatur

1.) Manfred Zollner und Eberhard Zwicker "Elektroakustik"
3. Auflage, 2003, Springer-Verlag

2.) Harry F. Olson "Elements Of Acoustical Engineering"
third printing, 1943, D. Van Nostrand Company, Inc., New York

3.) Leo L. Beranek "Acoustics"
1954, McGraw-Hill Book Company, New York, Toronto, London

4.) Paul W. Klipsch " A Low Frequency Horn of Small Dimensions"
Journal of the Acoustical Society of America, October 1941, Volume 13,"Improved Low Frequency Horn" J.A.S.A. January 1943, Volume 14.