Frage zum Kondensator

Nein, nicht R wird größer, sondern U wird kleiner. Kondensator, Widerstand und Spannungsquelle bilden einen geschlossenen Stromkreis. Nach der Maschenregel ist die Summe der Spannungen über allen Bauteilen Null. Für die Spannung über dem Widerstand gilt also, dass er Spannung der Spannungsquelle minus Spannung über dem Kondensator ist. Da die Spannung über dem Kondensator beim Aufladen zunimmt, sinkt die Spannung über dem Widerstand, und damit der Strom durch den Widerstand, der der gleiche ist, der den Kondensator lädt.

Grüße, Frank

Hallo,

danke für die Hilfe.

Es geht hier um einen idealisierten Aufbau

Stromkreis aus Stromquelle, Kondensator, parallel dazu das
Spannungsmessgerät, welches aufgrund des hohen Widerstands aber vernachlässigt werden kann,
und ein Schalter, um Strom an- und auszumachen.

Jetzt gehts darum, wieso der Kondensator nicht praktisch sofort seine maximale Ladung hat...



Bis zum roten Strich ist der (Gleich-)Stromkreis geschlossen,
ab der roten Linie ist der Schalter offen.

Nur wieso?

MfG Steve

Hallo Steve,

bei Deiner Zeichnung fehlt ein Widerstand:



Bei konstanten Strom steigt die Spannung auch linear an. Wenn aber über einen Widerstand geladen wird, so ergibt sich der Strom über das Ohmsche Gesetz:

Strom = Spannung / Widerstand.

Umso mehr der Kondensator geladen ist, umso weniger Spannung bleibt für den Widerstand über. Somit sinkt auch der Strom und die Ladung geht langsamer vonstatten.

Die Endladung funktioniert entsprechend nur andersherum.

Lies auch hier:



Ansonsten Google:




Gruß

Uwe

OK, ich versuch mich mal daran:

Deinen Physik-Lehrkörper wird wohl eine "mathematische" Erklärung begeistern. Die Grundbegriffe der Differentialrechnung (und Integralrechnung) setze ich für die 12. Jahrgangsstufe als gegeben voraus.


Ladevorgang bei einer R-C-Reihenschaltung


Elektrische Ladung Q(t), die im Kondensator bei der Ladespannung Uc(t) gespeichert ist:

Q(t) = C * Uc(t)   ; für C = const.     [1] Merke: "Kuh ist gleich Kuh!"  ;) 


Der Strom I(t), der in den Kondensator fließt ist:

I(t) = dQ/dt = C * dUc/dt               [2]

D.h. für einen Strom > 0  <=>  nehmen Ladung Q und Spannung Uc am Kondensator zu.

Es gilt das Ohm'sche Gesetz U=R*I für den Spannungsabfall Ur am Widerstand R . Und der gleiche Strom I(t), der den Kondensator auflädt, durchströmt ja auch den Widerling:

Ur(t) = R * I(t) = R * C * dUc/dt       [3]

Die Summe der Spannungen Ur(t) und Uc(t) ist die an der R-C-Reihenschaltung anliegende (konstante) Spannung U der Spannungsquelle:

U = Ur(t) + Uc(t) = const.              [4]


Nun fix mal den Ausdruck für Ur(t) aus Gleichung [3] in die Gleichung [4] einsetzen:

U = R * C * dUc/dt + Uc(t)              [5]

Das ist eine Differentialgleichung ("DGL") erster Ordnung!




Bevor wir diese DGL "richtig" lösen, erhalten wir schon jetzt mit der Randbedingung Uc(t=0) = 0 die Aussage:

U = R * C * dUc(t=0)/dt = R * I(t=0)

<=>

U/R = C * dUc(t=0)/dt = I(t=0)



D.h. die Steigung dUc(t)/dt des Graphen der Ladespannung Uc(t) ist am Beginn des Ladevorgangs:

dUc(t=0)/dt = U / (R * C)


Zur ausführlichen Lösung der Differentialgleichung:

Wenn man sich die DGL [5] anschaut, sieht man, daß sich die mit einem konstanten Faktor (R*C) multiplizierte Steigung einer Funktion f'(t) und die Funktion f(t) selbst irgendwie zu einem konstanten Wert addieren.
Wir wissen nun bereits aus der Differentialrechnung, daß die einzige Funktion, die gleichzeitig ihre eigene Ableitung ist, eine Exponentialfunktion "e hoch x" mit e = 2,71828... ist.

Weil ich hier keinen Formel-Editor habe, schreibe ich das hier mal in Anlehnung an Programmiersprachen in der Notation:


f(x) = exp(x)



Ausserdem ist z.B. für eine Funktion der Form:

f(x) = a* exp(-b*x) + k ;  mit a=const. und k=const.

die uns bekannte Ableitung:

f'(x) = -a *b * exp(-a*x) + 0




Als Lösungsansatz setzen wir daher einfach mal ein:

Uc(t) = Ua * exp(-b*t) + Uk      Anmerk.: b>0

dUc(t)/dt = (-b)*Ua*exp(-b*t) 


Das setzen wir nun mal in die DGL

U = R * C * dUc/dt + Uc(t)       [5]

ein und erhalten:

U = R*C*(-b)*Ua*exp(-b*t) + Ua*exp(-b*t) +Uk    [6]

Für t-> unendlich bekommen wir eine nette Vereinfachung:
Denn bekannterweise wird für t -> unendlich exp(-b*t) -> 0 streben: Damit gilt dann die von uns eingeführte Konstante Uk:

U = Uk

Damit kann man die Gleichung [6] vereinfachen zu:

R*C*b*Ua*exp(-b*t) = Ua*exp(-b*t)

=>

R*C * b exp(-b*t) = exp(-b*t)                    [7]


Gleichung [7] ist offenbar für beliebige Werte von t nur dann gültig, wenn gilt:

R*C*b = 1

Also ist die von uns eingeführte Konstante b:

b = 1/(R*C)                                     [8]

Diese Konstante wird übrigens auch als Zeitkonstante bezeichnet!

Das setzen wir mal in unseren Ansatz für die Spannung am Kondensator. Zur Vereinfachung schreib ich ab jetzt mal RC statt R*C

Uc(t) = Ua * exp(-b*t) + Uk


Uc(t) = Ua * exp(-t/(RC)) + U                  [9]

Als Anfangs-/Randbedingung haben wir ja nun einen ungeladenen Kondensator! Also gilt:

Uc(t=0) = 0 = Ua * exp(0) + U  =  Ua + U      

=>    Ua = (-U)                              [10]

Damit sind kommen wir nun endlich zum gesuchten Ergebnis:


Uc(t) = (-U) * exp(-t/(RC)) + U  

<=>

Uc(t) = U * [ 1 - exp[-t/(R*C)] ] 



Probe: Für t=0 erhalten wir also Uc(t)=0 und für t->unendlich Uc(t) = U

Für die Entladekurve muß man übrigens eigentlich nur die anderen Randbedingungen (und Stromflußrichtung) beachten...

Hallo,

harter Tobak
Ich denke morgen werde ich es dann kapiert haben

Danke für eure Hilfe, langsam weiß ich, worauf unser Physik-Lehrer hinauswill!

MfG Steve

P.S.: Das Referat sollte 15 Minuten nicht überschreiten

TG_Steve schrieb:

P.S.: Das Referat sollte 15 Minuten nicht überschreiten ;)

Im Rahmen eines Referates wird von Dir auch mit Sicherheit nicht die mathematische Pionierleistung eines Isaac Newton oder Gottfried Wilhelm Freiherr von Leibniz erwartet.

Versuch mal eine stark gekürzte Angabe der physikalischen Grundlagen der Berechnung (insbesondere Q=C*U und U=R*I und dQ/dt=I) und gib dann natürlich das Endergebnis an.

Deine eigene selbständige sprachliche Beschreibung des Ladevorgangs wird Dir ja mit Sicherheit den Hauptteil zum Verständnis bringen!

Die Herleitung und evtl. die Lösung der DGL wird Dein Lehrer ja wohl sowieso lieber selbst vorführen.

Aber so bist Du ja schon mal vorbereitet auf "aus den Fingern gesaugte" Lösungsansätze.