Mathematikaufgabe Nr. 987

Hm, irgendwie Formel für die Fläche finden, ableiten und Nullstelle suchen. Bin ich auf dem richtigen Weg?

Gruss Jürg

Hi,
genau das ist der richtige Weg!

So war das immer bei mir in der Mathematik, ich habe das Prinzip verstanden, aber wenn es Konkret wurde, habe ich versagt, faul und dusselig...

Unser Mathelehrer hat solche Aufgaben immer als Minimax-Aufgaben bezeichnet. Zudem gab es seiner Meinung zwei ganz schwierige Dinge, nämlich das Abschreiben (von dereinen Zeile zur nächsten, nicht vom Nachbarn) und Einsetzen, daran ist's dann jeweils gescheitert.

Gruss Jürg

Oha das ist ja mal richtig Off-Topic!

Ist der Halbkreis nicht immer gleich groß, egal, wie lang die Grundseite ist??
Das Rechteck ist ja auch immer gleich groß...
Grüße

Der Halbkreis hat den gleichen Durchmesser wie die Grundseite, d.h. Fläche des Halbkreises ist quadratisch proportional zur Grundseite.

Du bezeichnest jetzt beispielsweise die Grundseite mit x. Dann beträgt die Bogenlänge x*pi/2. Die Höhe des Rechtecks ist dann (11 - Bogenlänge)/2. Dann nimmst Du die Fläche des Rechtecks (Grundseite * Höhe) sowie diejenige des Halbkreises (Grundseite^2 * pi / 4), von der Summe der beiden Flächen die Ableitung bilden und dann die Nullstellen suchen (und dann die richtige erwischen, sonst kriegst Du das Minimum). Das aufzulösen ist jetzt Handwerk und da habe ich meistens versagt.

Gruss Jürg

aber wir sind uns doch einig, dass es sich bei einem halbkreis um einen halben kreis handelt, oder? und für einen halben kreis mit umfang (bezieht sich das eigentlich auf den ganzen kreis (is ja schließlich der umfang) oder auf den halbkreis)von 11m gibt es nur einen durchmesser (sonst ist das kein kreis mehr). also gibt es auch nur eine potenzielle rechtecksseitenlänge und somit nur einen querschnitt.
wie falsch liege ich mit meiner aussage? ich weiß, dass man mit dieser art, aufgaben zu lösen, mathelehrer zum weinen bringen kann:)
mfg

Ich vermute, dass mit dem Umfang von 11m der Umfang des gesamten Tunneleingangs gemeint ist und nicht nur derjenige des Halbkreises.

Die Fläche des Halbkreises wäre übrigens Grundseite^2 * pi / 8. Habe falsch eingesetzt... Oder stimmt das immer noch nicht?

Gruss Jürg

Klangwolke schrieb:

Die Fläche des Halbkreises wäre übrigens Grundseite^2 * pi / 8

Aha, das ist eine neue Mathematik.

Lest euch einfach nochmal die Aufgabenstellung durch. Dann macht mal eine Zeichnung.
Es gibt verschiedenen Möglichkeiten, so einen Tunnel zu machen.
z.B. 1 cm breit und fast 11 m hoch, mit einem winzigen Halbkreis darüber, oder auch andere Maße. z.B nicht so hoch, und dafür breiter.


Einige der Formeln, die man braucht:

Fläche eines Rechtecks ist Länge mal Breite

Fläche eines Kreises ist Radius zum Quadrat mal Pi

Umfang eines Kreises ist 2 mal Radius mal Pi

Hmmm



Mal ne Zusammenfassung, wie ich es bislang verstanden habe!
r,a und b sind direkt voneinander abhängig, r ist aber immer die Hälfte von a. Damit verändere ich aber auch b. Ich hoffe aber, meine Überlegungen stimmen!

Harry, Mathematiker vorm Herrn!

Achja, a = 2r (Zur weiteren Vereinfachung! )

Und 2*(a+b) sollen 11m sein?
Oder
2*b+a+(a²+pi/8) ?

Joe_Brösel schrieb:

Aha, das ist eine neue Mathematik.

Murray scheint da gleicher Meinung zu sein, so abwegig kann's nicht sein.

z.B. 1 cm breit und fast 11 m hoch

Dann kriegen wir aber nen Umfang von mindestens 22m...

Gruss Jürg

Murray scheint da gleicher Meinung zu sein, so abwegig kann's nicht sein. :)

Nimm mich niemals als Beispiel für mathematische Referenz!

Harry, Geologe vorm Herrn!

nur mal so rein interessehalber. ist mein lösungsansatz eigentlich fehlerhaft? natürlich weiß ich, dass der geforderte lösungsweg ein anderer ist, allerdings ist die aufgabenstellung schwammig genug(wie ich das liebe), dass man sie unterschiedlich auslegen kann:)
mfg

Hi,
Murray hat ja eine schöne Zeichnung gemacht. Dort kann jetzt z.B. b etwas kleiner gemacht werden, und a etwas größer, und die Vorgabe ist weiterhin erfüllt.

Zum Kreis und der Formel mit der Grundseite:
So einen Begriff kenne ich beim Kreis nicht. Es gibt einen Radius bzw. einen Durchmesser. Aber eine Grundseite. Was soll denn das sein? Oder ist das ein DDR-Begriff, wäre mir trotzdem neu.

Hey Joe

Mit der Grundseite meine ich die Breite des Tunnels, der Begriff Grundseite ist vielleicht etwas ungeschickt gewählt, er stammt aber nicht von mir sondern von Metal_Man. Der Durchmesser des Halbkreises entspricht in dieser Aufgabe ja der Breite (Grundseite) des Tunnels, deshalb habe ich Grundseite statt Durchmesser geschrieben. Murray hat dies als a bezeichnet. Man möchte in der Formel für Umfang und Fläche ja nur eine Variable drin haben.

=> Murray ist meine mathematische Referenz.

Gruss Jürg

Die Lösung müsste doch ein möglichst flacher Kreisabschnitt sein, der macht das darunterliegende Rechteck und den Querschnitt am größten.

mfg Marc

Hi,

also ich hab mit diesen beiden Gleichungen gerechnet.

Umfang von 11=a+2*b+2*PI*r/2 => 11=a+2b+PI*r
da a=2r => 11=2r+2b+Pi*r |:2
5,5=r+b+PI/2*r
=> b=5,5-r-PI/2*r

Und es gilt
Der Flächeninhalt A=a*b+2*PI*r²/2 => A=a*b+Pi*r²

jetzt hab ich b von oben in A eingesetzt und a durch 2r ersetzt

A=2r*(5,5-r-PI/2*r)+PI*r²
A=11r-2r²-PI+r²+PI*r²
A=11r-2r²
Jetzt hab ich die erste Ableitung von A gebildet:
A'(r)=11-4r
Da die Fläche ja maximal sein soll brauchen wir also die Extremstellen von der Funktion A(r) also bilde ich die erste Ableitung und setzt diese dann gleich Null:

0=11-4r => 4r=11 => r=2,75 => a=5,5 da a=2r

jetzt überprüfe ich noch ob der Wert den ich errechnet habe auch ein Maximun ist, dies ist gegeben, wenn die 2te Ableitung von A(r) kleiner als Null ist:

A''(r)=-4 => mein errechneter Wert ist ein Maximum.

Damit die Fläche Maximal wird brauchen wir eine Tunnelbreite von 5,5m

Die Fläche betragt dann:
A(2,75)=11*2,75-2*2,75²=15,125
A(2,74)=15,125m²

Die maximale Fläche des Tunnelquerschnitts beträgt 15,125m²

Stimmts?

Gruß Chris

Hallo
@Schisser
irgendwas kann bei deiner Rechnung nicht stimmen, es kann kein rationaler Wert herauskommen, wenn PI in der Rechnung vorkommt. Es kann sich auch nicht herauskürzen, da in der Fläche des Tunnelquerschnitts immernoch ein Kreisanteil drin ist. Außerdem ist die Fläche eines Kreises mit dem Umfang 11m gerade mal 9,63m. Da ein Kreis das beste Verhältnis von Umfang zu Fläche besitzt, muß der Tunnelquerschnitt kleiner sein.

Ich kann in deiner Rechnung aber den Fehler nicht finden...

Naja, ich hab mal ein wenig im Taschenrechner herumgetippt, das maximale Ergebnis liegt ungefähr bei a=3m (Tunnelbreite).

Schisser schrieb:

Und es gilt Der Flächeninhalt A=a*b+2*PI*r²/2 => A=a*b+Pi*r²

Falsch:

Die Fläche ist: A = (a * b) + (r² * PI / 2)

Damit stimmt der Rest Deiner Rechnung auch nicht.

Gruß,

V.

Mal ohne Rechnen sondern nur mit Logik:
Da der Kreis den geringsten Umfang bei größter Fläche hat,
muß der Halbkreis so groß wie möglich sein.

Optimal wäre ein Halbkreis ohne Rechteck darunter.

also... U = Pi*r + 2r

Ähm, ein Halbkreis ist kein Kreis.
Also muß das Rechteck unter dem Halbkreis so gewählt werden, das die Gesamtfläche einem Kreis am nächsten kommt.

Hallo Rainer,

mal so ganz aus dem Bauch.

der Querschnitt eines Tunnels sei ein Rechteck mit einem Halbkreis darüber. Sein Umfang betrage 11 m. Wie ist die Breite zu wählen, damit die Querschnittsfläche möglichst groß wird? Wie groß ist diese Fläche?

Das heißt, der Halbkreis hat einen u = 11m. Über das Rechteck sagt Deine Formulierung nichts weiter aus, als das der Halbkreis genau über dem Rechteck ist.
Hat der Halbkreis einen u = 11m, so beträgt sein Durchmesser, der gleichzeitig der Aufsatz auf das Rechteck ist, 7m. Damit sind zwei Kantenlängen des Rechtecks bestimmt und geben die Breite vor.
Die Höhe ist nicht errechenbar, weil das Rechteck nicht zwangsläufig 4 gleiche Seiten hat.
Der Flächeninhalt des Halbkreises liegt bei 19.26m².
Der Flächeninhalt des Rechtecks ist nicht bestimmbar, weil eben die Seitenlänge für die Höhe fehlt.

Henry - kein Mathematiker vor dem Herrn.

Na dann will ich mich auch mal versuchen. Aber bitte nicht schlagen, falls ich hier Unsinn schreibe

Wie schon richtig erwaehnt, haben wir hier ein Maximierungsproblem. D.h. bei gegebenem Umfang einen moeglichst grossen Flaecheninhalt zu erreichen. Sozusagen ein Effektivitaetskriterium (gegebener Input, maximaler Output). Im Gegensatz zum Effiezienzkriterium (gegebener Output bei minimalem Input). Dann haetten wir ein
Minimierungsproblem.

Das Maximierungsproblem heisst, dass wir von den beiden weiter oben bereits beschriebenen Formeln:

U=a+2b+Pi/2*a fuer den Umfang, und
A=ab+Pi/8*a^2 fuer die Flaeche

die Umfangsformel unangetastet lassen und nur die Flaechenformel durch Ableiten maximieren. Und zwar nach beiden unbekannten Variablen a und b.

A=ab+Pi/8*a^2, daraus folgt:

dA/da=b+Pi/4*a

dA/db=a

Beide Ableitunge werden nun gleichgesetzt:

dA/da=dA/db
b+Pi/4*a=a, daraus folgt

b=a-Pi/4*a

Dieses Ergebnis trage ich in die Ursprungsformel des Umfangs ein:

U=a+2(a-Pi/4*a)+Pi/2*a, daraus folgt

U=a+2a-Pi/2*a+Pi/2*a
U=3a

Traegt man nun den Wert des vorgegebenen Umfangs von 11 ein, erhaelt man als Ergebnis fuer

a=3,666667 (gerundet)
b=2,878 (gerundet)

Der Flaecheninhalt ist dann

A=15,831 (gerundet)

So, dann bin ich ja mal gespannt, ob der Katalane tatsaechlich noch ein wenig Ahnung in Mathe hat




[b]

Na ja, dann wars wohl gestern abend doch ein bisschen spät zum rechnen.
Wenn ich mal noch mal was Zeit hab rechne ich den ganzen Kram nochmal durch.

Gruß Chris

pitufito schrieb:

Na dann will ich mich auch mal versuchen. Aber bitte nicht schlagen, falls ich hier Unsinn schreibe Wie schon richtig erwaehnt, haben wir hier ein Maximierungsproblem. D.h. bei gegebenem Umfang einen moeglichst grossen Flaecheninhalt zu erreichen. Sozusagen ein Effektivitaetskriterium (gegebener Input, maximaler Output). Im Gegensatz zum Effiezienzkriterium (gegebener Output bei minimalem Input). Dann haetten wir ein Minimierungsproblem. Das Maximierungsproblem heisst, dass wir von den beiden weiter oben bereits beschriebenen Formeln: U=a+2b+Pi/2*a fuer den Umfang, und A=ab+Pi/8*a^2 fuer die Flaeche die Umfangsformel unangetastet lassen und nur die Flaechenformel durch Ableiten maximieren. Und zwar nach beiden unbekannten Variablen a und b. A=ab+Pi/8*a^2, daraus folgt: dA/da=b+Pi/4*a dA/db=a Beide Ableitunge werden nun gleichgesetzt: dA/da=dA/db b+Pi/4*a=a, daraus folgt b=a-Pi/4*a Dieses Ergebnis trage ich in die Ursprungsformel des Umfangs ein: U=a+2(a-Pi/4*a)+Pi/2*a, daraus folgt U=a+2a-Pi/2*a+Pi/2*a U=3a Traegt man nun den Wert des vorgegebenen Umfangs von 11 ein, erhaelt man als Ergebnis fuer a=3,666667 (gerundet) b=2,878 (gerundet) Der Flaecheninhalt ist dann A=15,831 (gerundet) So, dann bin ich ja mal gespannt, ob der Katalane tatsaechlich noch ein wenig Ahnung in Mathe hat

Hi,

bis zu Deinem Ergebnis von A kann ich Deinen Weg nachvollziehen.
Für B bekomme ich jedoch 0,785 heraus.
Wenn Du Deine Werte in die Formel für U eingesetzt hättest, wäre Dir aufgefallen, daß der Umfang zu groß wird.

A und B in die Formel von U eingesetzt ergibt dann für den Umfang U = 11 q.e.d.

Die Fläche wird dann A = 8,134

Das sieht doch gut aus

Gruß,

V.

Für B bekomme ich jedoch 0,785 heraus

b=a-1/4*Pi*a
=a(1-1/4Pi)
=a(1-3,14/4)
=0,215a
b=0,788

Da hast Du natuerlich Recht. Mist, so ein Schusselfehler...
Eine Probe sollte man doch immer machen...

Mehr davon! Ich langweile mich so bei der Arbeit!

Hi,
meine Lösung schaut so aus:

<img src="http://files.hifi-forum.de/joebroesel/987.jpg">

Die Breite ist dann 2 mal r = 3,08 m.

Na super!
Den ganzen Tag gerechnet, kommme auf ein Ergebnis, will es reinstellen und sehe, das das Ergebnis schon da ist.
Ich hatte das gleiche raus.

Ich hätte aber gerne noch eine Aufgabe, ist ein intelligenter Zeitvertreib!
Grüße

zucker schrieb:

Hallo Rainer, mal so ganz aus dem Bauch. der Querschnitt eines Tunnels sei ein Rechteck mit einem Halbkreis darüber. Sein Umfang betrage 11 m. Wie ist die Breite zu wählen, damit die Querschnittsfläche möglichst groß wird? Wie groß ist diese Fläche? Das heißt, der Halbkreis hat einen u = 11m. Über das Rechteck sagt Deine Formulierung nichts weiter aus, als das der Halbkreis genau über dem Rechteck ist. Hat der Halbkreis einen u = 11m, so beträgt sein Durchmesser, der gleichzeitig der Aufsatz auf das Rechteck ist, 7m. Damit sind zwei Kantenlängen des Rechtecks bestimmt und geben die Breite vor. Die Höhe ist nicht errechenbar, weil das Rechteck nicht zwangsläufig 4 gleiche Seiten hat. Der Flächeninhalt des Halbkreises liegt bei 19.26m². Der Flächeninhalt des Rechtecks ist nicht bestimmbar, weil eben die Seitenlänge für die Höhe fehlt. Henry - kein Mathematiker vor dem Herrn. :D

wenn ich mir das so ansehe, ist das so ziemlich genau mein lösungsansatz....
du bist mir sympathisch....die anderen denken viel zu kompliziert. da is das mit pisa ja kein wunder mehr:)
mfg